Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SD=\frac{a\sqrt{17}}{2},\) hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) trên \(\left( ABCD \right)\) là trung điểm của đoạn \(AB. \) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn \(AD. \) Khoảng cách giữa hai đường \(HK\) và \(SD\) theo \(a\) là:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(SH\bot \left( ABCD \right).\)
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD,I\) là trung điểm \(BO\Rightarrow HI//AC\Rightarrow HI\bot BD.\)
\(HI=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{4}.\)
\(\Delta ABD\) vuông tại \(A\Rightarrow HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\).
\(\Delta SHD\) vuông tại \(H\Rightarrow SH=\sqrt{S{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=\sqrt{\frac{17{{a}^{2}}}{4}-\frac{5{{a}^{2}}}{4}}=a\sqrt{3}.\)
Trong \(\left( SHI \right),\) vẽ \(HE\bot SI\left( E\in SI \right).\)
\(\frac{1}{H{{E}^{2}}}=\frac{1}{H{{I}^{2}}}+\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{8}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{25}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HE=\frac{a\sqrt{3}}{5}.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot HI\\ BD \bot SH \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow BD \bot HE.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} HE \bot SI\\ HE \bot BD \end{array} \right. \Rightarrow HE \bot \left( {SBD} \right).\)
Ta có \(HK\) là đường trung bình \(\Delta ABD\Rightarrow HK//BD\Rightarrow HK//\left( SBD \right).\)
Do đó \(d\left( KH,BD \right)=d\left( KH,\left( SBD \right) \right)=d\left( H,\left( SBD \right) \right)=HE=\frac{a\sqrt{3}}{5}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Quế Võ 1 lần 2