Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16\) và điểm \(A\left( -1;-1;-1 \right).\) Xét các điểm M thuộc \(\left( S \right)\)sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với \(\left( S \right).\) M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
\(\left( S \right)\)có tâm \(I\left( 2;3;-1 \right);\,\) bán kính \(R=4\)
\(A\left( -1;-1;-1 \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow{IA\,}=\left( -3;-4;0 \right)\), tính được \(IA=5\).
Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận \(\overrightarrow{IA\,}=\left( -3;-4;0 \right)\)làm vectơ pháp tuyến.
Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được \(I{{M}^{2}}=IH.IA\Rightarrow IH=\frac{I{{M}^{2}}}{IA}=\frac{16}{5}\), từ đó tính được \(\overrightarrow{IH\,}=\frac{16}{25}\overrightarrow{IA\,}\) tìm được \(H\left( \frac{2}{25};\frac{11}{25};-1 \right)\)
Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: \(-3\left( x-\frac{2}{25} \right)-4\left( y-\frac{11}{25} \right)=0\Leftrightarrow 3x+4y-2=0.\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Phú Lâm