Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = a, AB = 2a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có: \({V_{S.ABD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABD}} = \frac{2}{3}{a^3}\)
Vì: \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABD}} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
\(\Delta SAD\) vuông: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \Rightarrow AN = \frac{1}{2}SD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(\Delta SAB\) vuông: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AM = a\sqrt 2 \)
MN là đường trung bình của tam giác \(SBD \Rightarrow MN = \frac{1}{2}DB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Khi đó: \({S_{\Delta AMN}} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow d\left( {S;\,\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{\Delta AMN}}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) nên chọn đáp án A.
