Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình \( \sin \left( {\frac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho tương đương với
\( \sin \left( {\frac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) = \sin \left( {\frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right)\quad \left( * \right)\)
Ta biết rằng hàm số y=sinx đồng biến trên khoảng \( \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) . Ta chỉ ra rằng các hàm số \( f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 6}};g\left( x \right) = \frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}\) nhận giá trị trong khoảng này.
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l} \left| {\frac{x}{{{x^2} + 6}}} \right| \le \left| {\frac{x}{{2\sqrt {6{x^2}} }}} \right| = \frac{1}{{2\sqrt 6 }}\\ 0 < \frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}} = \frac{{80}}{{{{\left( {x + 16} \right)}^2} + 76}} \le \frac{{80}}{{76}} \le \frac{\pi }{2} \end{array}\)
Từ các đánh giá trên, (∗) xảy ra khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l} \frac{x}{{{x^2} + 6}} = \frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}} \Leftrightarrow {x^3} - 48{x^2} + 332x - 480 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 6\\ x = 40 \end{array} \right. \end{array}\)
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(2+6+40=48\)
