Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \( \frac{{AB}}{{CD}}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGắn hệ trục tọa độ như hình vẽ :
Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là \( y = - \frac{1}{2}{x^2} + 18\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là \( S = \int\limits_{ - 6}^6 {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18} \right)dx = } \left( { - \frac{{{x^3}}}{2} + 18x} \right)_{ - 6}^6 = 144\)
Gọi \( {x_A} = a \Rightarrow {y_A} = - \frac{1}{2}{a^2} + 18\)
⇒ Phương trình đường thẳng AB : \( y = - \frac{1}{2}{a^2} + 18\)
và \( {x_C} = c \Rightarrow {y_c} = - \frac{1}{2}{c^2} + 18\)
⇒ Phương trình đường thẳng CD : \( y = - \frac{1}{2}{c^2} + 18\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là:
\(\begin{array}{l} {S_1} = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{a^2} - 18} \right)dx = } \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right)dx = } \left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right)_{ - a}^a = \frac{{2{a^3}}}{3}\\ {S_1} = \frac{1}{3}S \to \frac{2}{3}{a^3} = \frac{1}{3}.144 = 48 \to a = 2\sqrt[3]{9}\\ \to AB = 2a = 4\sqrt[3]{9} \end{array}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là:
\(\begin{array}{l} {S_2} = \int\limits_{ - c}^c {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{c^2} - 18} \right)dx = } \left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{c^2}}}{2}} \right)_{ - c}^c = \frac{{2{c^3}}}{3}\\ {S_1} = \frac{2}{3}S \to \frac{2}{3}{c^3} = \frac{2}{3}.144 = 96 \to c = 2\sqrt[3]{{18}}\\ \to CD = 2c = 4\sqrt[3]{{18}}\\ \to \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(\displaystyle y = \tan x,y = 0,x = - \frac{\pi }{4}\) và \(\displaystyle x = \frac{\pi }{4}\) bằng
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=e^{x} ; y=e^{-x} ; x=1\)
-
Vận tốc của một vật chuyển động là \(v\left( t \right)\; = \;\frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}\; + \;\frac{{\sin \left( {{\rm{\pi }}t} \right)\;}}{{\rm{\pi }}}\) (m/s). Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:
-
Một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vân tốc \(v(t)=t(6-t)(m / s)\) . Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.
-
Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0\) và \(x = {{7\pi } \over 6}\)
-
Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường \(\begin{aligned} &(P): y=x^{2},\left(P^{\prime}\right): y=4 x^{2} \text { và } \text { (d): } y=4 \end{aligned}\) . Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H ) quanh trục
Ox bằng -
Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vận tốc \(v_{t}=t(5-t)(\mathrm{m} / \mathrm{s})\) . Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.
-
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y=f(x),y=0, x=b và x=a (trong đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [b;a]). Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay hình H quanh trục Ox được cho bởi công thức:
-
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^{4}-2 x^{2}\)2 và
trục hoành như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai?
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x^2+ 1 , y = 0, x = - 1, x = 2 \) bằng:
-
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{3}\) , trục Ox và đường thẳng x =-2 có diện tích là
-
Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x+1}\) và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích của lọ là:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = 2 - x,y = {x^2}\) và trục hoành trong miền \(x \ge 0\)
-
Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \(v_{0}(m / s)\) thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc \(a(t)=v_{0} t+t^{2}\left(m / s^{2}\right)\) trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm vật bắt đầu tăng tốc. Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100m. Tính vận tốc ban đầu v0 của vật.
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3 \text { là } S=\frac{a}{b}, (a ; b \in \mathbb{Z} ; a \neq 0) ; \frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x^2 - x , y = 2x - 2 , x = 0 , x = 3\) được tính bởi công thức:
-
Tại một noiw không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \(v(t)=10 t-t^{2}\), trong đó t ( phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là?
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
\(\displaystyle y = {x^3} - {x^2}\) và \(\displaystyle y = \frac{1}{9}(x - 1)\)
-
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=-x^{2}-2 x+1, y=m,(m>2), x=0, x=1\). Tìm m sao cho S=48m=6
