Phương trình \(\sin \left(\frac{3 \pi}{10}-\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{10}+\frac{3 x}{2}\right)\) có tổng các nghiệm trên \([0 ; 2 \pi]\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=\frac{3 \pi}{10}-\frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3 \pi}{10}-t \Rightarrow \frac{3 x}{2}=\frac{9 \pi}{10}-3 t\)
Khi đó phương trình đã cho trở thành
\(\Leftrightarrow \sin t=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{10}+\frac{9 \pi}{10}-3 t\right) \Leftrightarrow \sin t=\frac{1}{2} \sin (\pi-3 t) \Leftrightarrow \sin t=\frac{1}{2} \sin (3 t)\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow 2 \sin t=3 \sin t-4 \sin ^{3} t \Leftrightarrow \sin t\left(1-4 \sin ^{2} t\right)=0\\ &\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \sin t=0 \\ \sin ^{2} t=\frac{1}{4} \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=k \pi(k \in \mathbb{Z}) \\ \cos 2 t=\frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=k \pi \\ t=\pm \frac{\pi}{6}+k \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\right.\\ &\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{3 \pi}{5}-k 2 \pi \Rightarrow x=\frac{3 \pi}{5} \in[0 ; 2 \pi] \\ x=\frac{14 \pi}{15}-k 2 \pi \Rightarrow x=\frac{14 \pi}{15} \in[0 ; 2 \pi] \\ x=\frac{4 \pi}{15}-k 2 \pi \Rightarrow x=\frac{4 \pi}{15} \in[0 ; 2 \pi] \end{array}\right. \end{aligned}\)
Vậy tổng các nghiệm trên \([0 ; 2 \pi]\) của phương trình là \(\frac{3 \pi}{5}+\frac{14 \pi}{15}+\frac{14 \pi}{15}=\frac{9 \pi}{5}\)
