Cho hàm số \(y=\frac{m \cot x+8}{2 \cot x+m}\) ( m là tham số thực). Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\right) ?\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Điều kiện xác định: } \cot x \neq-\frac{m}{2} \text { . }\\ y^{\prime}=\frac{\left(m^{2}-16\right)\left(\frac{-1}{\sin ^{2} x}\right)}{(2 \cot x+m)^{2}}\\ \text { Hàm số } y=\frac{m \cot x+8}{2 \cot x+m} \text { đồng biến trên }\left(\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow \frac{\left(m^{2}-16\right)\left(\frac{-1}{\sin ^{2} x}\right)}{(2 \cot x+m)^{2}}>0, \forall x \in\left(\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\right) \text { . } \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { m ^ { 2 } - 1 6 < 0 } \\ { - \frac { m } { 2 } \neq \operatorname { c o t } x , \forall x \in ( \frac { \pi } { 4 } ; \frac { \pi } { 2 } ) } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { m ^ { 2 } - 1 6 < 0 } \\ { - \frac { m } { 2 } \notin ( 0 ; 1 ) } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -4<m<4 \\ {\left[\begin{array}{l} -\frac{m}{2} \leq 0 \\ -\frac{m}{2} \geq 1 \end{array}\right.} \end{array}\right.\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { - 4 < m < 4 } \\ { [ \begin{array} { l } { m \geq 0 } \\ { m \leq - 2 } \end{array} } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} -4<m \leq-2 \\ 0 \leq m<4 \end{array}\right.\right.\)