Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 10;\,10} \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}: {\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 – m} \right){\left( {3 – \sqrt 7 } \right)^x} – \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\({\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 – m} \right){\left( {3 – \sqrt 7 } \right)^x} – \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0 \Leftrightarrow {2^x}{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 – m} \right){\left( {3 – \sqrt 7 } \right)^x} > \left( {m + 1} \right){2^x}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 – m} \right){\left( {\frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} > m + 1\)
Đặt \(t = {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x}, t > 0 \Rightarrow {\left( {\frac{{3 – \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}\). Bất phương trình đã cho trở thành:
\(t + \left( {2 – m} \right).\frac{1}{t} > m + 1 \Leftrightarrow \frac{{{t^2} – t + 2}}{{t + 1}} > m\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – t + 2}}{{t + 1}}\) trên khoảng \(\left( {0;\, + \propto } \right)\), ta có \(f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t – 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\)
\(f’\left( t \right) = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 3\\t = 0\end{array} \right.\). Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:
.png)
Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m < 1. Suy ra trong đoạn \(\left[ { – 10;\,10} \right]\) có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
