Một sợi dây có chiều dài là 6m , được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi x(m0 là cạnh của tam giác đều, 0< x < 2.
Suy ra cạnh hình vuông là \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aI2aGaeyOeI0IaaG4maiaadIhaaeaacaaI0aaaaaaa!398C! \frac{{6 - 3x}}{4} (m)\).
Gọi S là tổng diện tích của hai hình thu được.
\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uamaabm % aabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaadIhadaahaaWcbeqa % aiaaikdaaaGccaGGUaWaaSaaaeaadaGcaaqaaiaaiodaaSqabaaake % aacaaI0aaaaiabgUcaRmaabmaabaWaaSaaaeaacaaI2aGaeyOeI0Ia % aG4maiaadIhaaeaacaaI0aaaaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqaba % GaaGOmaaaaaaa!4596! S\left( x \right) = {x^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} + {\left( {\frac{{6 - 3x}}{4}} \right)^2}\)
Ta có : \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uaiaacE % cadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpdaWcaaqaamaa % kaaabaGaaG4maaWcbeaaaOqaaiaaikdaaaGaamiEaiabgUcaRiaaik % dadaWcaaqaaiaaiAdacqGHsislcaaIZaGaamiEaaqaaiaaisdaaaGa % aiOlamaabmaabaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaaIZaaabaGaaGinaaaaai % aawIcacaGLPaaaaaa!4797! S'\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x + 2\frac{{6 - 3x}}{4}.\left( { - \frac{3}{4}} \right)\)
\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uaiaacE % cadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIWaGaeyi1 % HS9aaSaaaeaadaGcaaqaaiaaiodaaSqabaaakeaacaaIYaaaaiaadI % hacqGHRaWkcaaIYaWaaSaaaeaacaaI2aGaeyOeI0IaaG4maiaadIha % aeaacaaI0aaaaiaac6cadaqadaqaaiabgkHiTmaalaaabaGaaG4maa % qaaiaaisdaaaaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaaGimaaaa!4C6C! S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}x + 2\frac{{6 - 3x}}{4}.\left( { - \frac{3}{4}} \right) = 0\)\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyi1HSTaam % iEaiabg2da9maalaaabaGaaGymaiaaiIdaaeaacaaI5aGaey4kaSIa % aGinamaakaaabaGaaG4maaWcbeaaaaaaaa!3E7D! \Leftrightarrow x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, S đạt giá trị nhỏ nhất tại \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabg2 % da9maalaaabaGaaGymaiaaiIdaaeaacaaI5aGaey4kaSIaaGinamaa % kaaabaGaaG4maaWcbeaaaaaaaa!3C22! x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }} (m)\)