Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {1 + \sqrt 5 } \right)^{{{\log }_2}x}} – {\left( { – 1 + \sqrt 5 } \right)^{{{\log }_2}x}} > \frac{2}{3}x\,\,\,\left( 1 \right)\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTập xác định: \(D = \left( {0;\, + \infty } \right)\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt 5 } \right)^{{{\log }_2}x}} – {\left( { – 1 + \sqrt 5 } \right)^{{{\log }_2}x}} > \frac{2}{3} \cdot {2^{{{\log }_2}x}}\,\,\,\left( 2 \right)\).
Đặt \(t = {\log _2}x,\,\,t \in \mathbb{R}\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt 5 } \right)^t} – {\left( { – 1 + \sqrt 5 } \right)^t} > \frac{2}{3} \cdot {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^t} – {\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^t} > \frac{2}{3}\,\,\left( 3 \right)\).
Đặt \(u = {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^t},\,\,u > 0\), ta được:
\(u – \frac{1}{u} > \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{u}\left( {{u^2} – \frac{2}{3}u – 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {u^2} – \frac{2}{3}u – 1 > 0 \Leftrightarrow u \in \left( { – \infty ;\,\frac{{1 – \sqrt {10} }}{3}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3};\, + \infty } \right)\).
Vì u > 0 nên \(u \in \left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3};\, + \infty } \right) \Leftrightarrow u > \frac{{1 + \sqrt {10} }}{3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^t} > \frac{{1 + \sqrt {10} }}{3} \Leftrightarrow t > {\log _{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}x > {\log _{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3} \Leftrightarrow x > {2^{{{\log }_{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}}}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(T = \left( {{2^{{{\log }_{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}}};\, + \infty } \right)\).
