Tìm số nghiệm của phương trình \(\log _{2}(\sqrt{x-2}+4) \leq \log _{3}\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}}+8\right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Điều kiện xác định: }\left\{\begin{array}{l} x-2 \geq 0 \\ x-1>0 \end{array} \Leftrightarrow x \geq 2\right.\)
\(\mathrm{VT}=\log _{2}(\sqrt{x-2}+4) \geq \log _{2}(4)=2\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta có } x \geq 2 \Leftrightarrow x-1 \geq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x-1}} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x-1}}+8 \leq 9 \\ &\mathrm{VP}=\log _{3}\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}}+8\right) \leq \log _{3} 9=2 \end{aligned}\)
\(\text { Suy ra } \mathrm{VT} \geq 2 \geq \mathrm{VP} \text { . Do đó phương trình có nghiệm khi }\left\{\begin{array} { l } { \mathrm { VT } = 2 } \\ { \mathrm { VP } = 2 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \sqrt{x-2}=0 \\ \frac{1}{\sqrt{x-1}}=1 \end{array} \Leftrightarrow x=2\right.\right.\)
\(\text { Vậy } x=2 \text { là nghiệm duy nhất. }\)