Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;-1;1) và đường thẳng \(\Delta: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}\). Tìm tọa độ điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng \(\Delta\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S): x²+y²+z²-2x-4y+2z+2 = 0.

Cho đường thẳng d đi qua điểm M(2;0;-1) và có vectơ chỉ phương \(\vec a(4;-6;2)\). Phương trình
tham số của đường thẳng d là
 

Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng \(d: \frac{x+3}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}\)và song song với đường thẳng \(d^{\prime}: \frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2}\) là
 

Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho hai điểm \(A(3 ;-1 ; 1), B(4 ; 2 ;-3)\). Gọi A' là hình chiếu
vuông góc của A trên mặt phẳng (Oxy) và B' là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (Oyz) . Độ dài đoạn thẳng A'B' bằng 

Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(1; 4;-7) và vuông góc với mặt phẳng \(x+2 y-2 z-3=0\) có phương trình là 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \(\Delta_{1}: \frac{x-4}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+5}{-2}\) và \(\Delta_{2}: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{1}\). Giả sử \(M \in \Delta_{1}, N \in \Delta_{2}\) sao cho MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(\Delta_{1} \text { và } \Delta_{2} . \text { Tính } \overrightarrow {M N}\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = 2 . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng (SMC) vuông góc với mặt phẳng (SNC) . Thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M(3;2;8) , N (0;1;3) và P(2;m;4). Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.
 

Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ \(\vec a (2; 4; 2) \text{và} \vec b (1; 2; 3) \). Tích vô hướng của hai \(\vec a\, \text {và}\, \vec b\)bằng
 

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} x=1-2 t \\ y=3 \\ z=5+3 t \end{array}\right.\). Trong các vecto sau, vecto nào là một vecto chỉ phương của đường thẳng d . 

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2 + 3t\\
z = 5 - t
\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\)

Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz , cho \(\vec{u}=(-1 ; 3 ; 2), \vec{v}=(-3 ;-1 ; 2)\). Khi đó \(\vec{u}. \vec{v}\) bằng 
 

Trong không gian cho đường tròn \(\left( C \right):\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0\\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \end{array} \right.\)

Bán kính r của đường tròn (C) bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 5a , cạnh bên \(S A=10 a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng \((A M C) \text { và }(S B C)\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {3;\,1;\,1} \right)\), nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y – z – 3 = 0\) và tạo với đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 + 3t\\z = – 3 – 2t\end{array} \right.\) một góc nhỏ nhất thì phương trình của \(\Delta \) là

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( { – 3\,;2\,  ;2} \right),B\left( {0\,; – 1\,;2} \right),C\left( {1\,;1\,;3} \right)\), một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) đi qua C và song song với AB có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng \(d_{1}: \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{4}, d_{2}: \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{-1}\)
có một véctơ pháp tuyến là:
 

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua \(M(2 ;-1 ; 3)\) và vuông góc với đường thẳng \(\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{1}\)
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d: \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{-1}\)và điểm \(A(1 ; 3 ;-1)\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và đi qua A .

Trong không gian Oxyz . Đường thẳng đi qua\(H(3 ;-1 ; 0)\) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là