Xét các số phức z thỏa mãn \(|z-1-3 i|=2\) . Số phức z mà có\(|z-1|\)1 nhỏ nhất có dạng \(z_{0}=a+b i\) .
Giá trị của tổng 2a +3 b bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=x+y i \text { với } x, y \in \mathbb{R} \text { . }\\ &\text { Khi đó }|z-1-3 i|=2 \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=4 \text { . }\\ &\text { Gọi } M \text { là điểm biểu diễn hình học của số phức } z \text { ta có } M \in(I ; 2) \text { với } I(1 ; 3) \text { . }\\ &\text { Có }|z-1|=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\\ &\text { Gọi } A(1 ; 0) \text { suy ra }|z-1|=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=A M \end{aligned}\)
Dễ thấy \(A I=3>2\) nên A nằm ngoài (I;2).
.PNG)
Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn (I;2) tại BC, như hình vẽ.
\(\text { Có } A M \geq A B \Rightarrow A M_{\min }=A B=A I-I B=1\)
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow{A B}=\frac{A B}{A I} \overrightarrow{A I} \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A I}, \text { với } \overrightarrow{A I}(0 ; 3) \text { suy ra }\)
\(\begin{aligned} &\overrightarrow{A B}(0 ; 1) \Rightarrow B(1 ; 1)\\ &\text { Khi đó } z=1+i \text { hay }\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \end{array} \Rightarrow 2 a+3 b=5\right. \text { . } \end{aligned}\)
