Nghiệm của phương trình \(\begin{aligned} & \sin \left(\frac{\pi}{4}-2 x\right)+\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ:\(D=\mathbb{R}\)
\(\begin{aligned} & \sin \left(\frac{\pi}{4}-2 x\right)+\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Leftrightarrow & \sqrt{2} \cos 2 x-\sqrt{2} \sin 2 x+\sqrt{2} \cos x+\sqrt{2} \sin x=\sqrt{2} \\ \Leftrightarrow & \cos 2 x-\sin 2 x+\sin x+\cos x=1 \\ \Leftrightarrow &(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)+(\sin x+\cos x)=(\sin x+\cos x)^{2} \\ \Leftrightarrow &(\sin x+\cos x)(\cos x-\sin x+1-\sin x-\cos x)=0 \\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l} \sin x+\cos x=0 \\ 2 \sin x=1 \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow \quad\left[\begin{array}{l} \tan x=-1 \\ \sin x=\frac{1}{2} \end{array}\right. \\ &\Leftrightarrow \quad\left[\begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k_{1} \pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k_{2} 2 \pi \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k_{3} 2 \pi \end{array}\right. \end{aligned}\)
