Tính giá trị gần đúng (chính xác đến hàng phần trăm) nghiệm của phương trình \(\cos {x \over 2} = {{\sqrt 2 } \over 3}\) trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(y = {x \over 2}\) thì:
\(2\pi < x < 4\pi \Leftrightarrow \pi < y < 2\pi \)
Ta có phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}.\)
Do \(0 < {{\sqrt 2 } \over 3} < 1\) nên phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}\) có duy nhất một nghiệm \(y = \alpha \) thuộc khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) (có thể thấy rõ điều này trên đường tròn lượng giác).
Vậy trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right),\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \({x \over 2} = \alpha ,\)
Do đó có một nghiệm duy nhất \(x = 2\alpha .\)
Để tính giá trị gần đúng của \(\alpha ,\) ta làm như sau:
Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được số \(\beta \) thỏa mãn \(0 < \beta < \pi \) và \(\cos \beta = {{\sqrt 2 } \over 3}\).
(Cụ thể \(\beta = \arccos {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 1,080\)).
Khi đó, dễ thấy \(2\pi - \beta \) thỏa mãn \(\pi < 2\pi - \beta < 2\pi \) và \(\cos \left( {\pi - \beta } \right) = \cos \beta = {{\sqrt 2 } \over 3},\) nghĩa là \(\alpha = 2\pi - \beta .\)
Vì \(\beta \approx 1,080\) nên giá trị gần đúng nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\alpha \approx 10,41.\)