Cho hàm số f (x) có đồ thị của hàm số \(f^{\prime}(x)\) như hình vẽ.
Hỏi hàm số \(g(x)=f(1-x)+\frac{x^{2}}{2}-x\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(g^{\prime}(x)=-f^{\prime}(1-x)+x-1\) .
Hàm số g (x) nghịch biến \(\Leftrightarrow g^{\prime}(x)<0 \Leftrightarrow f^{\prime}(1-x)>x-1(1)\) .
Đặt t =1 -x . Khi đó (1) trở thành \(f^{\prime}(t)>-t(2)\).
Bất phương trình (2) được thỏa khi \(f^{\prime}(x)>-x\) hay đồ thị hàm số =f'(x) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y=-x\).
Từ đồ thị ta được \(\left[\begin{array}{c} t<-3 \\ 1<t<3 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} 1-x<-3 \\ 1<1-x<3 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} x>4 \\ -2<x<0 \end{array}\right.\right.\right.\)
Vậy chọn khoảng (-2;0)