Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{5}{m^2}{x^5} – \frac{1}{3}m{x^3} + 10{x^2} – \left( {{m^2} – m – 20} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

Ta có \(f’\left( x \right) = {m^2}{x^4} – m{x^2} + 20x – \left( {{m^2} – m – 20} \right) = {m^2}\left( {{x^4} – 1} \right) – m\left( {{x^2} – 1} \right) + 20\left( {x + 1} \right)\)

\( = {m^2}\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – m\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 20\left( {x + 1} \right)\)

\( = \left( {x + 1} \right)\left[ {{m^2}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – m\left( {x – 1} \right) + 20} \right]\)

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\{m^2}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – m\left( {x – 1} \right) + 20 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(f’\left( x \right) = 0\) có một nghiệm đơn là x = – 1, do đó nếu \(\left( * \right)\) không nhận x = – 1 là nghiệm thì \(f’\left( x \right)\) đổi dấu qua x = – 1. Do đó để \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) hay \(\left( * \right)\) nhận x = – 1 làm nghiệm (bậc lẻ).

Suy ra \({m^2}\left( { – 1 – 1} \right)\left( {1 + 1} \right) – m\left( { – 1 – 1} \right) + 20 = 0 \Leftrightarrow – 4{m^2} + 2m + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\m = – 2\end{array} \right.\).

Thử lại:

+ Với \(m = \frac{5}{2}\) ta có \(f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left[ {\frac{{25}}{4}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – \frac{5}{2}\left( {x – 1} \right) + 20} \right] = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \)không thỏa mãn.

+ Với m = – 2 ta có \(f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left[ {4\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + 2\left( {x – 1} \right) + 20} \right] = 0\) có 1 nghiệm kép \( \Rightarrow \) thỏa mãn.

Tổng các giá trị của m là – 2\).

Ta có \(f’\left( x \right) = {m^2}{x^4} – m{x^2} + 20x – \left( {{m^2} – m – 20} \right) = {m^2}\left( {{x^4} – 1} \right) – m\left( {{x^2} – 1} \right) + 20\left( {x + 1} \right)\)

\( = {m^2}\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – m\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 20\left( {x + 1} \right)\)

\( = \left( {x + 1} \right)\left[ {{m^2}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – m\left( {x – 1} \right) + 20} \right]\)

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\{m^2}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – m\left( {x – 1} \right) + 20 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(f’\left( x \right) = 0\) có một nghiệm đơn là x = – 1, do đó nếu \(\left( * \right)\) không nhận x = – 1 là nghiệm thì \(f’\left( x \right)\) đổi dấu qua x = – 1. Do đó để \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) hay \(\left( * \right)\) nhận x = – 1 làm nghiệm (bậc lẻ).

Suy ra \({m^2}\left( { – 1 – 1} \right)\left( {1 + 1} \right) – m\left( { – 1 – 1} \right) + 20 = 0 \Leftrightarrow – 4{m^2} + 2m + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\m = – 2\end{array} \right.\).

Thử lại:

+ Với \(m = \frac{5}{2}\) ta có \(f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left[ {\frac{{25}}{4}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – \frac{5}{2}\left( {x – 1} \right) + 20} \right] = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \)không thỏa mãn.

+ Với m = – 2 ta có \(f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left[ {4\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + 2\left( {x – 1} \right) + 20} \right] = 0\) có 1 nghiệm kép \( \Rightarrow \) thỏa mãn.

Tổng các giá trị của m là – 2