Cho x, y là số thực dương thỏa mãn \(\ln x+\ln y \geq \ln \left(x^{2}+y\right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của P=x+y
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\ln x+\ln y \geq \ln \left(x^{2}+y\right) \Leftrightarrow x y \geq x^{2}+y\)
ta xét:
Nếu \(0<x \leq 1 \text { thi } y \geq x y \geq x^{2}+y \Leftrightarrow 0 \geq x^{2}\) mâu thuẫn.
Nếu \(x>1 \text { thì } x y \geq x^{2}+y \Leftrightarrow y(x-1) \geq x^{2} \Leftrightarrow y \geq \frac{x^{2}}{x-1}\)
Vậy \(P=x+y \geq x+\frac{x^{2}}{x-1}\)
Xét hàm số \(f(x)=x+\frac{x^{2}}{x-1}\) trên \((1 ;+\infty)\)
có \(f^{\prime}(x)=\frac{2 x^{2}-4 x+1}{x^{2}-2 x+1}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\text {loai}) \\ x=\frac{2+\sqrt{2}}{2}(\text {nhan}) \end{array}\right.\)
Vậy \(\min\limits _{(1 ;+\infty)} f(x)=f\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)=2 \sqrt{2}+3\)