Có bao nhiêu bộ \(\left( {x;y} \right)\) với x,y nguyên và \(1 \le x,y \le 2020\) thỏa mãn \(\left( {xy + 2x + 4y + 8} \right){\log _3}\left( {\frac{{2y}}{{y + 2}}} \right) \le \left( {2x + 3y – xy – 6} \right){\log _2}\left( {\frac{{2x + 1}}{{x – 3}}} \right)\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x,y \in {\mathbb{N}^*}:x,y \le 2020\\\frac{{2x + 1}}{{x – 3}} > 0,\frac{{2y}}{{y + 2}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,y \in {\mathbb{N}^*}:x,y \le 2020\\x > 3,y > 0\end{array} \right.\).
BPT cho có dạng \(\left( {x – 3} \right)\left( {y – 2} \right){\log _2}\left( {\frac{{x + 4}}{{x – 3}} + 1} \right) + \left( {x + 4} \right)\left( {y + 2} \right){\log _3}\left( {\frac{{y – 2}}{{y + 2}} + 1} \right) \le 0\) .
+ Xét y = 1 thì thành \( – \left( {x – 3} \right){\log _2}\left( {\frac{{x + 4}}{{x – 3}} + 1} \right) + 3\left( {x + 4} \right){\log _3}\frac{2}{3} \le 0\), rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi x > 3 vì \( – \left( {x – 3} \right) < 0,{\rm{ }}{\log _2}\left( {\frac{{x + 4}}{{x – 3}} + 1} \right) > {\log _2}\left( {0 + 1} \right) = 0,{\rm{ }}3\left( {x + 4} \right) > 0,{\rm{ }}{\log _3}\frac{2}{3} < 0\).
Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ \(\left( {x;y} \right) = \left( {x;1} \right)\) với \(4 \le x \le 2020,x \in \mathbb{N}\).
+ Xét y = 2 thì thành \(4\left( {x + 4} \right){\log _3}1 \le 0\), BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà \(4 \le x \le 2020,x \in \mathbb{N}\)
Trường hợp này cho ta 2017 cặp \(\left( {x;y} \right)\) nữa.
+ Với y > 2,x > 3 thì \(VT\left( * \right) > 0\) nên không xảy ra.
Vậy có đúng 4034 bộ số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.