Trong không gian Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là: \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y – 6}}{{ – 4}} = \frac{{z – 6}}{{ – 3}}\). Biết rằng điểm \(M\left( {0\,;5\,;3} \right)\) thuộc đường thẳng AB và điểm \(N\left( {1\,;1\,;0} \right)\) thuộc đường thẳng AC. Một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng AC có tọa độ là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình tham số của đường phân giác trong góc \(A\,,\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 6 – 4t\\z = 6 – 3t\end{array} \right.\).
Gọi D là điểm đối xứng với M qua \(\left( d \right)\). Khi đó \(D \in AC \Rightarrow \) đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {ND} \).
* Ta xác định điểm D. Gọi K là giao điểm của MD với \(\left( d \right)\).
Ta có \(K\left( {t\,;6 – 4t\,;6 – 3t} \right)\,\,;\overrightarrow {MK} = \left( {t\,;1 – 4t\,;3 – 3t} \right).\)
Vì \(\overrightarrow {MK} \bot \overrightarrow {{u_d}} \), với \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1\,; – 4\,; – 3} \right)\) nên \(t – 4\left( {1 – 4t} \right) – 3\left( {3 – 3t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}.\)
\( \Rightarrow K\left( {\frac{1}{2}\,;4\,;\frac{9}{2}} \right)\), mà K là trung điểm của MD nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_K} – {x_M}\\{y_D} = 2{y_K} – {y_M}\\{z_D} = 2{z_K} – {z_M}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 1\\{y_D} = 3\\{z_D} = 6\end{array} \right.\) hay \(D\left( {1\,;3\,;6} \right)\).
Một vectơ chỉ phương của AC là \(\overrightarrow {ND} = \left( {0\,;2\,;6} \right) = 2\left( {0\,;1\,;3} \right) = 2\overrightarrow u \), với \(\overrightarrow u = \left( {0\,;1\,;3} \right).\)
