Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{2}\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{5}\). Phương trình của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng \(\Delta \) là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = – 1 + 3t\\z = 2t\end{array} \right.\).
Đường thẳng d có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2s\\y = 1 + s\\z = – 3 + 5s\end{array} \right.\).
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2s\\ – 1 + 3t = 1 + s\\2t = – 3 + 5s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}s = 1\\t = 1\end{array} \right.\).
Gọi \(A = d \cap \Delta \Rightarrow A\left( {2;2;2} \right)\).
Lấy điểm \(B\left( {0;1; – 3} \right) \in d\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm B và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) là:
\(x + 3\left( {y – 1} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 2z + 3 = 0\).
Gọi \(H = \Delta \cap \left( P \right)\) và C là điểm đối xứng với B qua H. Khi đó AC đối xứng với d qua đường thẳng d.
Gọi điểm \(H\left( {1 + t; – 1 + 3t;2t} \right) \in \Delta \).
Ta có : \(H \in \left( P \right) \Leftrightarrow 1 + t + 3\left( { – 1 + 3t} \right) + 2.2t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = – \frac{1}{{14}}\).
Vậy \(H\left( {\frac{{13}}{{14}}; – \frac{{17}}{{14}}; – \frac{1}{7}} \right)\).
Suy ra \(C\left( {\frac{{13}}{7}; – \frac{{24}}{7};\frac{{19}}{7}} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( { – \frac{1}{7}; – \frac{{38}}{7};\frac{5}{7}} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng đi qua A và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;38; – 5} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2 + 38t\\z = 2 – 5t\end{array} \right.\).
