Phương trình \(2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x}\) có nghiệm là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right) \geq 0 \\ 4 \sin ^{2}\left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x(*) \end{array}\right.\)
\(\begin{aligned} &(*) \Leftrightarrow 4 \frac{1-\cos \left(6 x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}=1+8 \sin 2 x \frac{1+\cos 4 x}{2}\\ &\Leftrightarrow 2(1+\sin 6 x)=1+4 \sin 2 x+4 \sin 2 x \cos 4 x\\ &\Leftrightarrow 2+2 \sin 6 x=1+4 \sin 2 x+2(\sin 6 x-\sin 2 x)\\ &\Leftrightarrow 2 \sin 2 x-1=0\\ &\Leftrightarrow \sin 2 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} 2 x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ 2 x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k \pi(1) \\ x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi(2) \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right. \end{aligned}\)
Với k chẵn thì (1)\((1) \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+2 n \pi \Rightarrow \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=1>0\)
Với k lẻ thì (1) \((1) \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+(2 n-1) \pi=-\frac{11 \pi}{12}+2 n \pi \Rightarrow \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=-1<0\)
Với k chẵn thì \(\text { (2) } \Leftrightarrow x=\frac{5 \pi}{12}+2 n \pi \Rightarrow \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=-1<0\)
Với k lẻ thì \((2) \Leftrightarrow x=\frac{5 \pi}{12}+(2 n-1) \pi=-\frac{7 \pi}{12}+2 n \pi \Rightarrow \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=1>0\)
Vậy tập nghiệm là \(\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+2 k \pi \\ x=-\frac{7 \pi}{12}+2 k \pi \end{array}\right.\)
