Cho hai điểm \(A\left( {3;\;3;\;1} \right), B\left( {0;\;2;\;1} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z – 7 = 0\). Đường thẳng d nằm trên \(\left( P \right)\) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B có phương trình là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 3; – 1;0} \right); I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};1} \right)\) là trung điểm của AB và A, B nằm ở hai phía của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của AB và \(d = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right)\). Khi đó d chính là đường thẳng thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách đều hai điểm A,B.
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};1} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 3; – 1;0} \right)\) là
\( – 3\left( {x – \frac{3}{2}} \right) – \left( {y – \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y – 7 = 0\)
Vì d là đường giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( P \right)\) nên một véctơ chỉ phương của d là
\(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right] = \left( { – 1;3; – 2} \right) = – \left( {1; – 3;2} \right)\).
Mà d đi qua \(C\left( {0;7;0} \right) \in \left( \alpha \right) \cap \left( P \right)\).
Vậy d có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 7 – 3t\\z = 2t\end{array} \right.\) (\(t \in \mathbb{R}\)).