Cho hàm số y = x3- 6x2+ 3( m+ 2) x-m-6. Hỏi có mấy giá trị nguyên của m để hàm số có 2 cực trị cùng dấu.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Ta có đạo hàm y’ = 3x2- 12x+ 3( m+ 2)
Phương trình y’ = 0 khi 3x2- 12x+ 3( m+ 2) = 0
+ Hàm số có 2 điểm cực trị x1; x2 ⇔ Δ’ > 0 ⇔ m < 2
+ Chia y cho y’ ta được :y= 1/3.y’( x-2) + (m-2) (2x+ 1)
Tọa độ 2 điểm cực trị tương ứng : A( x1 ; ( m-2) ( 2x1+ 1) ) và B( x2 ; ( m-2) ( 2x2+ 1) )
+ Ta có : y1.y2 = ( m-2) 2( 4x1x2+ 2( x1+ x2) + 1)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 4\\
{x_1}{x_2} = m + 2
\end{array} \right.\) nên y1y2 = ( m-2) 2( 4m+ 17)
Hai cực trị cùng dấu khi và chỉ khi y1.y2 > 0 hay ( m-2) 2( 4m+ 17) > 0
Kết hợp điều kiện ta được : -17/4 < m < 2; mà m nguyên nên m = - 4; - 3; ...0; 1
Có tất cả 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn đầu bài.